已知点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．（1）求双曲线方程；   （2）过F的直线L1交双曲线于A，B两点，若弦长|AB|不超过4，求L1的斜率的

题型：黑龙江省月考题难度：来源：

已知点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．
（1）求双曲线方程；  
（2）过F的直线L₁交双曲线于A，B两点，若弦长|AB|不超过4，求L₁的斜率的取值范围．

答案

解：（1）∵点P 在双曲线 上，
且它到双曲线一个焦点F的距离是1，
∴ =1，即c= ，
设双曲线方程为 ，
把点P 代入，得 ，
整理，得a⁴﹣5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴双曲线方程是x²﹣y²=1．
（2）∵双曲线方程是x²﹣y²=1，∴F（ ），
∴直线L₁的方程是： ，
由 ，得（1﹣k²）x²+ ，
当k=±1时，直线 与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．
当k≠±1时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ， ，
|AB|= ≤4，
∴（1+k²） ≤16，
整理，得3k⁴﹣10k²+3≥0，解得k²≥3，或 ，
∴ ，或 ，或 ，
综上所述，L₁的斜率的取值范围是{k| ，或 ，或 ，或k=±1}．