已知点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足:PA与PB的斜率之积为3.设动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)记点F(﹣2,0),曲线
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已知点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足:PA与PB的斜率之积为3.设动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)记点F(﹣2,0),曲线
题型:期末题
难度:
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已知点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足:PA与PB的斜率之积为3.设动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)记点F(﹣2,0),曲线E上的任意一点C(x
1
,y
1
)满足:x
1
<﹣1,x
1
≠﹣2且y
1
>0.
①求证:∠CFB=2∠CBF;
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D(x
2
,y
2
)(x
2
<﹣1,y
2
<0),若∠FCB与∠FDB互补,证明代数式3m
2
﹣4b的值为定值,并求出此定值.
答案
解:(1)∵点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y),
∴
,
,
∵PA与PB的斜率之积为3,
∴
,x≠±1,
∴
.
(2)①设∠CFB=α,∠CBF=β,β为锐角,
则tanα=
,tanβ=
,
,
∴tan2β=
=
=
=tanα.
②由题意C(x
1
,y
1
),y
1
>0,D(x
2
,y
2
),y
2
<0,
联立
,得(3m
2
﹣1)y
2
+6mby+3b
2
﹣3=0,
则△=12(b
2
+3m
2
﹣1)>0,
,
,
∵k=
,∴
,∴3m
2
﹣1<0,
故
,
设∠DFB=γ,∠DBF=θ,
∵
,tan
,
,
∴tan2θ=
=
=﹣
=tanγ,
∵2θ∈(0,π),γ∈(0,π),
∴γ=2θ,即∠DFB=2∠DBF,
∵α,2β∈(0,π),
∴由(2)①得α=2β,即∠CFB=2∠CBF,
又∠DFB=2∠DBF,
∴∠FCB与∠FDB互补,即∠FCB+∠FDB=π,
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π,则
,
由到角公式,得
=
, ∴
=
,
即
,
∴3m
2
﹣1=4b+4,
∴3m
2
﹣4b=5(定值).
举一反三
已知点P
在双曲线
上,且它到双曲线一个焦点F的距离是1.
(1)求双曲线方程;
(2)过F的直线L
1
交双曲线于A,B两点,若弦长|AB|不超过4,求L
1
的斜率的取值范围.
题型:黑龙江省月考题
难度:
|
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已知双曲线
的离心率为
,左、右焦点分别为
、
,一条准线的方程为
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)若双曲线
上的一点
满足
,求
的值;
(3)若直线
与双曲线
交于不同的两点
,且
在以
为圆心的圆上,求实数
的取值范围。
题型:重庆市月考题
难度:
|
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若直线
与双曲线
的左支交于不同的两点,那么
的取值范围是
[ ]
A.(
)
B.(
)
C.(
)
D.(
)
题型:贵州省期中题
难度:
|
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已知经过点(
,
) 的双曲线C:
(a>0,b>0)的离心率为2。
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在经过点(0,-1)的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B,且线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P、Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
题型:甘肃省模拟题
难度:
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过点
且方向向量为(k,1)的直线与双曲线
仅有一个交点,则实数k的值为( )
题型:上海市模拟题
难度:
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