解:(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0 当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3) 当∠MBA≠90°时,x≠2, 由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= , 化简可得3x2-y2-3=0 而 点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上 综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1); (2)直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0(x>1)联立, 消元可得x2-4mx+m2+3=0① ∴①有两根且均在(1,+∞)内 设f(x)=x2-4mx+m2+3, ∴, ∴m>1,m≠2 设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), ∵|PQ|<|PR|, xR=2m+,xQ=2m-, ∴== ∵m>1,且m≠2 ∴,且 ∴,且 ∴的取值范围是(1,7)∪(7,7+4)。 |