△PF1F2是焦点三角形,利用余弦定理来探索|PF1|,|PF2|,a,b,c之间的关系,以便确定双曲线的基本量的大小. 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则F1(-c,0),F2(c,0),在△PF1F2中,由余弦定理可得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴4c2=4a2+|PF1|·|PF2|. 又S△PF1F2=2,∴|PF1|·|PF2|·sin=2. ∴|PF1|·|PF2|=8,∴4c2=4a2+8,∴c2=a2+2,∴b2=c2-a2=2,又e==2,∴c=2a,∴4a2=a2+2,∴a2=. ∴双曲线的标准方程为-=1. |