过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线

题型：不详难度：来源：

过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x±y=0	B．2x±y=0
C．4x±y=0	D．x±2y=0

答案

B

解析

如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连结OT、PF′.

∵FT为圆的切线,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分别为FP、FF′的中点,
∴OT∥PF′且|OT|=|PF′|,
∴|PF′|=2a,
且PF′⊥PF.
又|PF|-|PF′|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF′中,|PF|²+|PF′|²=|FF′|²,
即16a²+4a²=4c²,
∴=5.
∴=-1=4,
∴=±2,
即渐近线方程为y=±2x,
即2x±y=0.故选B.