已知双曲线x2-=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.

题型：不详难度：来源：

已知双曲线x²-=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.

答案

k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).

解析

当k=0时,显然不成立.
∴当k≠0时,由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-x+b,代入3x²-y²=3中,得(3k²-1)x²+2kbx-(b²+3)k²=0.
显然3k²-1≠0,∴Δ=(2kb)²-4(3k²-1)［-(b²+3)k²］>0,即k²b²+3k²-1>0.                  ①
由根与系数的关系,得中点M(x₀,y₀)的坐标

∵M(x₀,y₀)在直线l上,
∴=+4,即k²b=3k²-1.                                           ②
把②代入①得k²b²+k²b>0,解得b>0,或b<-1.
∴>0或<-1,
即|k|>或|k|<,且k≠0.
∴k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).