设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P,Q两点,如果△PQF是等边三角形,则双曲线的离心率e的值为( )A.
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设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P,Q两点,如果△PQF是等边三角形,则双曲线的离心率e的值为( )A.
题型:不详
难度:
来源:
设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P,Q两点,如果△PQF是等边三角形,则双曲线的离心率e的值为( )
A.
1
2
B.
3
2
C.2
D.3
答案
依题意,如图:
则P(
a
2
c
,
ab
c
),Q(
a
2
c
,-
ab
c
),F(c,0),
∵△PQF是等边三角形,
∴tan∠PFO=
MP
MF
=
ab
c
c-
a
2
c
ab
b
2
=
a
b
=tan30°=
3
3
,
∴
a
2
b
2
=
1
3
,
∴b
2
=c
2
-a
2
=3a
2
,
∴c=2a,
∴e=
c
a
=2.即双曲线的离心率e=2.
故选C.
举一反三
焦点为(3,0),且与双曲线
x
2
2
-
y
2
=1
有相同的渐近线的双曲线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线的渐近线方程是3x±4y=0,则双曲线的离心率等于______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
4
-
y
2
k
=1
的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F
1
、F
2
,O为双曲线的中心,P是双曲线右支上异于顶点的任一点,△PF
1
F
2
的内切圆的圆心为I,且⊙I与x轴相切于点A,过F
2
作直线PI的垂线,垂足为B,若e为双曲线的离心率,下面八个命题:
①△PF
1
F
2
的内切圆的圆心在直线x=b上;
②△PF
1
F
2
的内切圆的圆心在直线x=a上;
③△PF
1
F
2
的内切圆的圆心在直线OP上;
④△PF
1
F
2
的内切圆必通过点(a,0);
⑤|OB|=e|OA|;
⑥|OB|=|OA|;
⑦|OA|=e|OB|;
⑧|OA|与|OB|关系不确定.
其中正确的命题的代号是______.
题型:不详
难度:
|
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若一个椭圆与双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
焦点相同,且过点(
-
3
,1).
(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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