已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,点C是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABC是锐角三角形,

已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,点C是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABC是锐角三角形,

题型:甘肃一模难度:来源:
已知点F是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点,点C是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABC是锐角三角形,则此双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,2)B.(1,+∞)C.(2,1+


2
)
D.(1,1+


2
)
答案
∵△ABC是锐角三角形
∴∠ACB为锐角
∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴
∴∠ACF=∠BCF<45°
∴AF<CF
∵F为右焦点,设其坐标为(c,0)
所以A( c,
b2
a

所以AF=
b2
a
,CF=a+c
b2
a
<a+c
即c2-ac-2a2<0
解得 -1<
c
a
<2

双曲线的离心率的范围是(1,2)
故选A.
举一反三
双曲线x2-
y2
4
=1
的渐近线方程为(  )
A.y=
1
2
x
B.y=±2xC.y=2xD.y=-2x
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双曲线
x2
9
-
y2
16
=1
上一点P,设F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点,∠F1PF2=90°,则△F1F2P的面积为(  )
A.8B.16C.5D.4
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已知直线y=x+1与椭圆(m>n>0)相交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为-
1
3
,则双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1
的两条渐近线夹角的正切值是______.
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已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,Q为双曲线左准线上的点,且QF交双曲线于第一象限一点P,若O为坐标原点,且OP垂直平分FQ,则双曲线的离心率e=______.
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已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为______.
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