已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,Q为双曲线左准线上的点,且QF交双曲线于第一象限一点P,若O为坐标原点,且OP垂直平分FQ,

已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,Q为双曲线左准线上的点,且QF交双曲线于第一象限一点P,若O为坐标原点,且OP垂直平分FQ,

题型:不详难度:来源:
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,Q为双曲线左准线上的点,且QF交双曲线于第一象限一点P,若O为坐标原点,且OP垂直平分FQ,则双曲线的离心率e=______.
答案
离心率 e=
c
a

左准线 x=
-a2
c
=-
a
e

右焦点 (c,0) Q(ae,0)
P 是FQ中点,所以 P 点横坐标
x=
1
2
(-
a
e
+ae)=
1
2
a(e-
1
e

代入到双曲线方程,考虑P在第一象限,得到纵坐标
y=b


x2
a2
-1
=
b
2


(e-
1
e
) 2-4

设 e-
1
e
=t
x=
at
2

y=
b
2


t2-4

PF斜率 k=
b
2


t2-4
at
2
-ae

OP 斜率
k"=
b
2


t2-4
at
2

PF 与 OP 垂直
k  k"=-1,(
b
a
2  (t2-4)=t(2e-t)
其中
b2
a2
=e2-1
把 t 表达式代回 
整理得e2+
1
e2
-6=1+
1
e2

求得e2=7
∴e=


7

故答案为:


7
举一反三
已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
双曲线
y2
4
-
x2
5
=1
的焦点坐标为(  )
A.(-1,0),(1,0)B.(-3,0),(3,0)C.(0,-1),(0,1)D.(0,-3),(0,3)
题型:不详难度:| 查看答案
F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦点,A是其右顶点,过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P,G是△PF1F2的重心,若


GA


F1F2
=0,则双曲线的离心率是(  )
A.2B.


2
C.3D.


3
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
已知双曲线上的一点P与两焦点F1,F2所连成的三角形为直角三角形,且有一个内角为30°,F1F2为斜边,则双曲线的离心率______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
4
-
y2
m
=1的离心率为2,则实数m=______.
题型:密云县一模难度:| 查看答案
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