直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围;(2)双曲线C的右焦点F,是否存在实数k,使得以AF⊥BF?若存
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直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围; (2)双曲线C的右焦点F,是否存在实数k,使得以AF⊥BF?若存在,求出k的值.若不存在,说明理由. |
答案
(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.…①(2分) 依题意,直线l与双曲线C交于不同两点,则 k2-2≠0,△=(2k)2-8(k2-2)>0, 解得k的取值范围为-2<k<2.(4分) (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①得 x1+x2=,x1•x2=.…②(6分) 假设存在实数k,使得以AF⊥BF得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0. (7分) 既(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.…③(8分) 把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0. 解得k=-或k=(10分) 存在实数k=-或k=,使得以AF⊥BF |
举一反三
已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1⊥MF2,则点M到x轴的距离为______. |
已知双曲线-x2=1,则其渐近线方程是 ______,离心率e=______. |
以双曲线-=1的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是______. |
(1)若双曲线x2-=1的离心率为n,则n=______; (2)设i为虚数单位,复数(1+i)n的运算结果为______. |
F1 F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且S△IPF1=S△IPF2-λS△IF1F2,则λ=______. |
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