设点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点,P为双曲线上的一点,且PF1•PF2=-2c23,则此双曲线的离心率的取值范围

设点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点,P为双曲线上的一点,且PF1•PF2=-2c23,则此双曲线的离心率的取值范围

题型:不详难度:来源:
设点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左右焦点,P为双曲线上的一点,且


PF1


PF2
=-
2c2
3
,则此双曲线的离心率的取值范围是______.
答案
设P(m,n),得


PF1
=(-c-m,-n)


PF2
=(c-m,-n)



PF1


PF2
=(-c-m)(c-m)+n2=-
2
3
c2,即m2+n2=
1
3
c2,…(1)
∵P(m,n)是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
上的点,
m2
a2
-
n2
b2
=1
,解得n2=b2
m2
a2
-1),代入(1)式得
c2
a2
m2-b2=
1
3
c2,整理得:
c2
a2
m2=
4
3
c2-a2,…(2)
∵点P在双曲线上,横坐标满足|m|≥a
∴m2≥a2,代入(2)式,得
4
3
c2-a2
c2
a2
•a2=c2
化简,得
1
3
c2
≥a2,所以c


3
a

因此双曲线的离心率e=
c
a


3
,得e∈[


3
,+∞

故答案为:[


3
,+∞
举一反三
双曲线
x2
2
-
y2
4
=-1
的渐近线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设连接双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
y2
b2
-
x2
a2
=1(a>0,b>0)
的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则
S1
S2
的最大值为______.
题型:普陀区二模难度:| 查看答案
双曲线x2-y2=8的左右焦点分别为F1,F2,点Pn(xn,yn)(n=1,2,3…)在其右支上,且满足|Pn+1F2|=|PnF1|,P1F2⊥F1F2,则x2012的值是(  )
A.8040


2
B.80484


2
C.8048D.8040
题型:不详难度:| 查看答案
双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,且直线PF1、PF2之夹角为
π
3
,则△PF1F2的面积为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都与以点A(


2
,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点是(0,


2
),求双曲线C的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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