已知双曲线x2-y22=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( )A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(
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已知双曲线x2-y22=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( )A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(
题型:浙江模拟
难度:
来源:
已知双曲线x
2
-
y
2
2
=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( )
A.(3,0)
B.(1,0)
C.(-3,0)
D.(4,0)
答案
设PQ的方程为x=my+b,则由
x
2
-
y
2
2
=1
x=my+b
得:(m
2
-
1
2
)y
2
+2bmy+b
2
-1=0,设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
则y
1
,y
2
是该方程的两根,
∴y
1
+y
2
=
2bm
1
2
-m
2
,y
1
•y
2
=
b
2
-1
m
2
-
1
2
.
又A(-1,0),AP⊥AQ,
∴
y
1
x
1
+1
•
y
2
x
2
+1
=-1,
∴y
1
y
2
+(x
1
+1)(x
2
+1)=0,又x
1
=my
1
+b,x
2
=my
2
+m,
∴(1+m
2
)y
1
y
2
+(b+1)m(y
1
+y
2
)+(b+1)
2
=0①,将y
1
+y
2
=
2bm
1
2
-m
2
,y
1
•y
2
=
b
2
-1
m
2
-
1
2
代入①得:
b
2
-1
m
2
-
1
2
(1+m
2
)-
2bm
2
(b+1)
m
2
-
1
2
+(b+1)
2
=0,
整理得:(b
2
-1)(1+m
2
)-2bm
2
(b+1)+(m
2
-
1
2
)(b+1)
2
=0,
∴b
2
-2b-3=0,
∴b=3或b=-1.
当b=-1时,PQ过(-1,0),即A点,与题意不符,故舍去.
当b=3时,PQ过定点(3,0).
故选A.
举一反三
等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y
2
=4x的准线交于A、B两点,AB=
3
,则C的实轴长为______.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线
x
2
m
+
y
2
n
=1
的离心率为2,且一个焦点与抛物线x
2
=8y的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
题型:泰安一模
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F
1
AF
2
=90°,且|AF
1
|=3|AF
2
|,则双曲线的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
点A是抛物线C
1
:y
2
=2px(p>0)与双曲线C
2
:
x
2
a
-
y
2
b
=1
(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C
1
的准线的距离为p,则双曲线C
2
的离心率等于( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.
6
题型:蚌埠二模
难度:
|
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设双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的右焦点为F,左右顶点分别为A
1
,A
2
,过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P,若P恰好在以A
1
A
2
为直径的圆上,则双曲线的离心率为______.
题型:浙江模拟
难度:
|
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