已知双曲线x2-y22=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点(  )A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(

已知双曲线x2-y22=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点(  )A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(

题型:浙江模拟难度:来源:
已知双曲线x2-
y2
2
=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点(  )
A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(4,0)
答案
设PQ的方程为x=my+b,则由





x2-
y2
2
=1
x=my+b
得:(m2-
1
2
)y2+2bmy+b2-1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1,y2是该方程的两根,
∴y1+y2=
2bm
1
2
-m2
,y1•y2=
b2-1
m2-
1
2

又A(-1,0),AP⊥AQ,
y1
x1+1
y2
x2+1
=-1,
∴y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,又x1=my1+b,x2=my2+m,
∴(1+m2)y1y2+(b+1)m(y1+y2)+(b+1)2=0①,将y1+y2=
2bm
1
2
-m2
,y1•y2=
b2-1
m2-
1
2
代入①得:
b2-1
m2-
1
2
(1+m2)-
2bm2(b+1)
m2-
1
2
+(b+1)2=0,
整理得:(b2-1)(1+m2)-2bm2(b+1)+(m2-
1
2
)(b+1)2=0,
∴b2-2b-3=0,
∴b=3或b=-1.
当b=-1时,PQ过(-1,0),即A点,与题意不符,故舍去.
当b=3时,PQ过定点(3,0).
故选A.
举一反三
等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB=


3
,则C的实轴长为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设双曲线
x2
m
+
y2
n
=1
的离心率为2,且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
题型:泰安一模难度:| 查看答案
设F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2
x2
a
-
y2
b
=1
(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于(  )
A.


2
B.


3
C.


5
D.


6
题型:蚌埠二模难度:| 查看答案
设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦点为F,左右顶点分别为A1,A2,过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P,若P恰好在以A1A2为直径的圆上,则双曲线的离心率为______.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
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