F(-c,0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E,且PE=FE,若双

F(-c,0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E,且PE=FE,若双

题型:葫芦岛模拟难度:来源:
F(-c,0)是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E,且PE=FE,若双曲线的焦距为2


5
+2,则双曲线的实轴长为(  )
A.4B.2C.
20+4


5
5
D.
10+2


5
5
答案
抛物线y2=4cx的焦点F2(c,0)
∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点,PE=EF
∴OE为直线FP的中垂线 (O为原点)
∴OP=OF=c
又FF2=2c,O为FF2中点,OP=c
∴∠FPF2=90°(直角三角形中,直角顶点与斜边中点的连线长度为斜边的一半)
根据△FEO△FPF2,可得
PF2
EO
=
FF2
FO
=
2c
c
=2

∵EO=a,∴PF2=2a
过F作x轴的垂线l,过P作PQ⊥l于Q,则PQ=PF2=2a 
又Rt△FPQRt△F2FQ,令PF=2x=2EF,∴
QP
PF
=
PF
FF2
,即
2a
2x
=
2x
2c
,即x2=ac=EF2
∴在Rt△FEO中,OF2=EF2+EO2,即c2=ac+a2
∵双曲线的焦距为2


5
+2,
∴a2+(1+


5
)a-(1+


5
2=0
a=
-(1+


5
)±(


5
+5)
2

∴a1=2,a2=-


5
-3 (舍)
∴实轴长为4
故选A.
举一反三
已知双曲线x2-
y2
2
=1
的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且


MF1


MF2
=0
,则点M到x轴的距离为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知A为双曲线
x2
9
-
y2
7
=1
的右顶点,F是双曲线的右焦点,则|AF|=______.
题型:宝山区一模难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是(  )
A.


2
B.


3
C.2D.3
题型:浙江难度:| 查看答案
若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上横坐标为
3a
2
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D.(5,+∞)
题型:湖南难度:| 查看答案
从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角,则双曲线的离心率为(  )
A.
1
2
B.2C.


2
2
D.


2
题型:湖南难度:| 查看答案
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