F(-c,0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E,且PE=FE,若双
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F(-c,0)是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y2=4cx上一点,直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E,且PE=FE,若双
题型:葫芦岛模拟
难度:
来源:
F(-c,0)是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左焦点,P是抛物线y
2
=4cx上一点,直线FP与圆x
2
+y
2
=a
2
相切于点E,且PE=FE,若双曲线的焦距为2
5
+2,则双曲线的实轴长为( )
A.4
B.2
C.
20+4
5
5
D.
10+2
5
5
答案
抛物线y
2
=4cx的焦点F
2
(c,0)
∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点,PE=EF
∴OE为直线FP的中垂线 (O为原点)
∴OP=OF=c
又FF
2
=2c,O为FF
2
中点,OP=c
∴∠FPF
2
=90°(直角三角形中,直角顶点与斜边中点的连线长度为斜边的一半)
根据△FEO
∽
△FPF
2
,可得
P
F
2
EO
=
F
F
2
FO
=
2c
c
=2
∵EO=a,∴PF
2
=2a
过F作x轴的垂线l,过P作PQ⊥l于Q,则PQ=PF
2
=2a
又Rt△FPQ
∽
Rt△F
2
FQ,令PF=2x=2EF,∴
QP
PF
=
PF
F
F
2
,即
2a
2x
=
2x
2c
,即x
2
=ac=EF
2
∴在Rt△FEO中,OF
2
=EF
2
+EO
2
,即c
2
=ac+a
2
∵双曲线的焦距为2
5
+2,
∴a
2
+(1+
5
)a-(1+
5
)
2
=0
∴
a=
-(1+
5
)±(
5
+5)
2
∴a
1
=2,a
2
=-
5
-3 (舍)
∴实轴长为4
故选A.
举一反三
已知双曲线
x
2
-
y
2
2
=1
的焦点为F
1
,F
2
,点M在双曲线上,且
M
F
1
•
M
F
2
=0
,则点M到x轴的距离为______.
题型:不详
难度:
|
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已知A为双曲线
x
2
9
-
y
2
7
=1
的右顶点,F是双曲线的右焦点,则|AF|=______.
题型:宝山区一模
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,P是准线上一点,且PF
1
⊥PF
2
,|PF
1
|•|PF
2
|=4ab,则双曲线的离心率是( )
A.
2
B.
3
C.2
D.3
题型:浙江
难度:
|
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若双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)上横坐标为
3a
2
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D.(5,+∞)
题型:湖南
难度:
|
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从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角,则双曲线的离心率为( )
A.
1
2
B.2
C.
2
2
D.
2
题型:湖南
难度:
|
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