已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为92,并且与直线y=13(x-4)相交所得线段中点的横坐标为-23,求这个双曲线方程.
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已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为92,并且与直线y=13(x-4)相交所得线段中点的横坐标为-23,求这个双曲线方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为
9
2
,并且与直线
y=
1
3
(x-4)
相交所得线段中点的横坐标为
-
2
3
,求这个双曲线方程.
答案
由题意可设所求双曲线方程为:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,
设直线 y=
1
3
(x-4)与双曲线相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
a
2
2
-
y
1
b
2
2
=1(1)
x
2
a
2
2
-
y
2
b
2
2
=1(2)
(1)-(2)得:
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
+
x
2
)
a
2
-
(
y
1
-
y
2
)(
y
1
+
y
2
)
b
2
=0
即
(
x
1
+
x
2
)
b
2
(
y
1
+
y
2
)
a
2
=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
,
又由线段AB中点的横坐标为
-
2
3
可得,其纵坐标为
1
3
(-
2
3
-4)=-
14
9
,
∴
x
1
+
x
2
=2×(-
2
3
)=-
4
3
,
y
1
+
y
2
=2×(-
14
9
)=-
28
9
.
又∵
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
1
3
,
∴
-
4
3
b
2
-
28
9
a
2
=
1
3
,
∴
b
2
=
7
9
a
2
,
c
2
=
a
2
+
b
2
=
16
9
a
2
,
c=
4
3
a
又∵双曲线两准线间的距离为
9
2
,
∴
2×
a
2
c
=
9
2
,
∴
2×
a
2
4
3
a
=
9
2
∴a=3,a
2
=9,c
2
=
16
9
a
2
=16.
∴b
2
=c
2
-a
2
=7.
∴所求双曲线方程为:
x
2
9
-
y
2
7
=1
.
举一反三
已知双曲线x
2
-y
2
=1的一条渐近线与抛物线y=x
2
+a只有一个公共点,则a的值为( )
A.
B.
C.
D.1
题型:佛山二模
难度:
|
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已知点 P 在双曲线
x
2
16
-
y
2
9
=1
上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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已知点F、A分别为双曲
C:
(a>0,b>0)
的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足
·
=0,
则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:青岛一模
难度:
|
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已知双曲线的两个焦点为F
1
(-
,0)、F
2
(
,0),M是此双曲线上的一点,且满足
·
=0,|
|·|
|=2,则该双曲线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:东城区模拟
难度:
|
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以双曲线
-
=1
的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.
+
=1
B.
+
=1
C.
+
=1
D.
+
=
1
题型:湛江二模
难度:
|
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