已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为3,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=212,l与线段F1F2的垂直平分线的交点
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已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为3,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=212,l与线段F1F2的垂直平分线的交点
题型:云南
难度:
来源:
已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为
3
,C的两个焦点分别为F
1
,F
2
,直线l过F
2
且与直线F
1
F
2
的夹角为tanψ=
21
2
,l与线段F
1
F
2
的垂直平分线的交点是P,线段PF
2
与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF
2
|=2:1.求双曲线C的方程.
答案
如图,以F
1
F
2
所在的直线为x轴,线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
设双曲线的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,
直线PQ的方程为
y=
21
2
(x-c)
,则P
(0,-
21
2
c)
,
由线段的定比分点坐标公式得
x
Q
=
0+2c
1+2
=
2c
3
,
y
Q
=
-
21
2
c+0
1+2
=
-
21
6
c
.
∴
(
2c
3
,-
21
6
c)
.
代入双曲线的方程得
4
c
2
9
a
2
-
21
c
2
36
b
2
=1
,整理得
16(
b
a
)
4
-41(
b
a
)
2
-21=0
,
解得
(
b
a
)
2
=3
,或
(
b
a
)
2
=
-
7
16
.(舍去).
∴
b
a
=
3
.又ab=
3
,
∴
b=
3
,a=1.
故所求的双曲线方程为
x
2
-
y
2
3
=1
.
举一反三
双曲线
-
=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y
2
=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:湖北
难度:
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如果双曲线的两条渐近线的方程是
,焦点坐标是(
,0)和(-
,0),那么它的两条准线之间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
题型:云南
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方程ax
2
+by
2
=c表示双曲线是ab<0的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型:不详
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A.
B.
C.
D.5
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已知双曲线
x
2
n
-
y
2
12-n
=1的离心率为
3
,则n=______.
题型:安徽
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