如图,△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形,圆心O在边AB上,边AD分别与BC,OC交于E,F两点,点C为的中点.(1)求证:OF∥BD;(2)若,且⊙O的半

如图,△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形,圆心O在边AB上,边AD分别与BC,OC交于E,F两点,点C为的中点.(1)求证:OF∥BD;(2)若,且⊙O的半

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形,圆心O在边AB上,边AD分别与BC,OC交于E,F两点,点C为的中点.

(1)求证:OF∥BD;
(2)若,且⊙O的半径R=6cm.①求证:点F为线段OC的中点; ②求图中阴影部分(弓形)的面积.
答案
(1)证明见解析(2)①证明见解析②cm2
解析
(1)证明:∵OC为半径,点C为的中点,∴OC⊥AD。
∵AB为直径,∴∠BDA=90°,BD⊥AD。∴OF∥BD。
(2)①证明:∵点O为AB的中点,点F为AD的中点,∴OF=BD。
∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE。
∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD,
,∴FC=BD。
∴FC=FO,即点F为线段OC的中点。
②解:∵FC=FO,OC⊥AD,∴AC=AO,
又∵AO=CO,∴△AOC为等边三角形。
∴根据锐角三角函数定义,得△AOC的高为
(cm2)。
答:图中阴影部分(弓形)的面积为cm2
(1)由垂径定理可知OC⊥AD,由圆周角定理可知BD⊥AD,从而证明OF∥BD。
(2)①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD,利用相似比证明BD=2CF,再证OF为△ABD的中位线,得出BD=2OF,即CF=OF,证明点F为线段OC的中点;
②根据S=S扇形AOC﹣SAOC,求面积。
举一反三
如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形各边都相切,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是(  )

  
A.4πB.3πC.2πD.π

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如图,⊙O的直径CD垂直于AB,∠AOC=48°,则∠BDC=  度.
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平面直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(0,2),半径为1,点N在x轴的正半轴上,如果以点N为圆心,半径为4的⊙N与⊙M相切,则圆心N的坐标为  ▲  
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如图,AB是⊙O的直径,AC和BD是它的两条切线,CO平分∠ACD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AC=2,BC=3,求AB的长.
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如图,点A、B、C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC=  ▲  度.
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