已知点A,B是双曲线x2-y22=1上的两点,O为原点,若OA•OB=0,则点O到直线AB的距离为______.
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已知点A,B是双曲线x2-y22=1上的两点,O为原点,若OA•OB=0,则点O到直线AB的距离为______.
题型:不详
难度:
来源:
已知点A,B是双曲线
x
2
-
y
2
2
=1
上的两点,O为原点,若
OA
•
OB
=0
,则点O到直线AB的距离为______.
答案
设直线AB的方程为my=x+t,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
∵
OA
•
OB
=0
,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
∵my
1
=x
1
+t,my
2
=x
2
+t,∴x
1
x
2
=(my
1
-t)(my
2
-t)=
m
2
y
1
y
2
-mt(
y
1
+
y
2
)+
t
2
=0
,
∴
(
m
2
+1)
y
1
y
2
-mt(
y
1
+
y
2
)+
t
2
=0
.(*)
联立
my=x+t
x
2
-
y
2
2
=1
,消去x得到关于y的一元二次方程:2(my-t)
2
-y
2
=2,
化为(2m
2
-1)y
2
-4mty+2t
2
-2=0(2m
2
-1≠0).
∵直线BA与此双曲线有两个不同的交点,∴△>0.
由根与系数的关系得y
1
+y
2
=
4mt
2
m
2
-1
,y
1
y
2
=
2
t
2
-2
2
m
2
-1
,代入(*)得
(
m
2
+1)(2
t
2
-2)
2
m
2
-1
-
4
m
2
t
2
2
m
2
-1
+
t
2
=0
,
化为t
2
=2(m
2
+1).
∴点O到直线AB的距离d=
|t|
m
2
+1
=
2
.
故答案为
2
.
举一反三
已知离心率为e=2的双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,双曲线C的一个焦点到渐近线的距离是
3
(1)求双曲线C的方程
(2)过点M(5,0)的直线l与双曲线C交于A、B两点,交y轴于N点,当
NM
=λ
AM
=μ
BM
,且
(
1
λ
)
2
+(
1
μ
)
2
=(
7
5
)
2
时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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焦点在x轴上的双曲线ax
2
-by
2
=1的离心率为
5
,则
a
b
=______.
题型:不详
难度:
|
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如果双曲线
x
2
13
-
y
2
12
=1
上一点P到右焦点的距离等于
13
,那么点P到右准线的距离是( )
A.
13
5
B.13
C.5
D.
5
13
题型:湖南
难度:
|
查看答案
双曲线mx
2
+y
2
=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=( )
A.
-
1
4
B.-4
C.4
D.
1
4
题型:不详
难度:
|
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如图,F
1
,F
2
分别为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的左右焦点,点P在双曲线上,若△POF
2
是面积为1的正三角形,则b
2
的值为( )
A.
1
2
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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