已知双曲线C:(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(x0,y0)引圆O的两条切线,切点分别为A,B。(1)

已知双曲线C:(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(x0,y0)引圆O的两条切线,切点分别为A,B。(1)

题型:广东省模拟题难度:来源:
已知双曲线C:(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2(其中原点O为圆心),过双曲线C上一点P(x0,y0)引圆O的两条切线,切点分别为A,B。
(1)若双曲线C上存在点P,使得∠APB=90°,求双曲线离心率e的取值范围;
(2)求直线AB的方程;
(3)求三角形OAB面积的最大值。
答案
解:(1)因为a>b>0,
所以
所以
由∠APB=90°及圆的性质,可知四边形PAOB是正方形,
所以
因为
所以
所以
故双曲线离心率e的取值范围为
(2)因为
所以以点P为圆心,|PA|为半径的圆P的方程为
 
因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB,
所以联立方程组
消去x2,y2,即得直线AB的方程为x0x+y0y=b2。(3)由(2)知,直线AB的方程为x0x+y0y=b2
所以点O到直线AB的距离为
因为 

所以三角形OAB的面积

因为点P(x0,y0)在双曲线上,
所以


所以
因为S"
所以当0<t<b时,S">0,当t>b时,S"<0
所以
在(0,b)上单调递增,在(b,+∞)上单调递减,
,即时,
S最大值=
,即时,
S最大值=
综上可知,当,S最大值=
时,S最大值=
举一反三
已知双曲线C:(a,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为

[     ]

A.
B.
C.2
D.3
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,已知A,B分别是双曲线的左、右焦点,△ABC的顶点C在双曲线的右支上,则的值是(    )。
题型:江苏模拟题难度:| 查看答案
已知抛物线y2= 2px(p>1)的焦点F恰为双曲线(a>0,b>0)的右焦点,且两曲线的交点连线过点F,则双曲线的离心率为 [     ]
A.
B.
C.2
D.
题型:江西省模拟题难度:| 查看答案
已知双曲线(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为2ab,则双曲线的离心率e=(    )。
题型:江西省模拟题难度:| 查看答案
已知点F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(    )。
题型:北京期末题难度:| 查看答案
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