抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

题型:不详难度:来源:
抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.
答案
如图所示,依题意,设抛物线方程为y2=2px,则直线方程为y=-x+
1
2
p.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、D.
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
p
2
+x2+
p
2
,(4分)
即x1+
p
2
+x2+
p
2
=8.①
又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,





y=-x+
1
2
p
y2=2px
消去y,得x2-3px+
p2
4
=0,
∵△=9p2-4×
p2
4
=8p2>0.
∴x1+x2=3p.
将其代入①得p=2,
∴所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.(8分)
举一反三
根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)过点P(2,-4).
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已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2


2
的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9,
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若


OC
=


OA


OB
,求λ的值.
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△AOB是边长为1的等边三角形,O是原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线的方程是(  )

A.y2=

B.y2x

C.y2=-x

D.y2=x

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已知抛物线y2=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|+|BF|=8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)
①求抛物线方程;
②求△ABS面积的最大值.
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已知抛物线y2=2px(p>0),且准线与y轴的距离为2.
(1)求此抛物线的方程;
(2)点P为抛物线上一点,且其纵坐标为2


2
,求点P到抛物线焦点的距离.
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