抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

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答案

如图所示，依题意，设抛物线方程为y²=2px，则直线方程为y=-x+

p．设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

+x₂+

，（4分）
即x₁+

+x₂+

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由

y=-x+

y2=2px

消去y，得x²-3px+

=0，
∵△=9p²-4×

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
将其代入①得p=2，
∴所求抛物线方程为y²=4x．
当抛物线方程设为y²=-2px（p＞0）时，
同理可求得抛物线方程为y²=-4x．
故所求抛物线方程为y²=4x或y²=-4x．（8分）

举一反三

根据下列条件求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线16x²-9y²=144的左顶点；
（2）过点P（2，-4）．

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已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

+λ

，求λ的值．

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△AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是（　　）

A.y²=

B.y²=±x

C.y^2=-x

D.y²=x

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已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

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已知抛物线y²=2px（p＞0），且准线与y轴的距离为2．
（1）求此抛物线的方程；
（2）点P为抛物线上一点，且其纵坐标为2

，求点P到抛物线焦点的距离．

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