已知直线l交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,且∠AOB=90°,其中,点O为坐标原点,点A的坐标为(1,2).(I)求抛物线C的方程;(II)求点
题型:不详难度:来源:
已知直线l交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,且∠AOB=90°,其中,点O为坐标原点,点A的坐标为(1,2). (I)求抛物线C的方程; (II)求点B的坐标. |
答案
(I)因为点A(1,2)在抛物线y2=2px上, 所以22=2p,-------------(2分) 解得p=2,-------------(3分) 故抛物线C的方程为y2=4x.-------------(4分) (II)设点B的坐标为(x0,y0),由题意可知x0≠0, 直线OA的斜率kOA=2,直线OB的斜率kOB=, 因为∠AOB=90°,所以kOA•kOB==-1,-------------(6分) 又因为点B(x0,y0)在抛物线y2=4x上, 所以y02=4x0,-------------(7分) 联立 解得或 (舍),-------------(9分) 所以点B的坐标为(16,-8).-------------(10分) |
举一反三
当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是( )A.x2=32y或y2=- x | B.x2=-32y或y2= x | C.y2=32x或x2=- y | D.y2=-32x或x2= y | 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴,抛物线上一点M(3,m)到焦点的距离为5,求m的值及抛物线方程. | 抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( )A.x2=4y | B.x2=-4y | C.y2=-12x | D.x2=-12y | 已知F(,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称,直线l与抛物线交于异于M,N的A,B两点,且|NF|=,kNA•kNB=-2. (I)求抛物线方程和N点坐标; (II)判断直线l中,是否存在使得△MAB面积最小的直线l",若存在,求出直线l"的方程和△MAB面积的最小值;若不存在,说明理由. | 抛物线y2=4mx(m>0)的焦点到双曲线-=1的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为______. |
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