已知抛物线C:y2=mx(m≠0)的准线与直线l:kx-y+2k=0(k≠0)的交点M在x轴上,l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N(p
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已知抛物线C:y2=mx(m≠0)的准线与直线l:kx-y+2k=0(k≠0)的交点M在x轴上,l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N(p,0). (1)求抛物线C的方程; (2)求实数p的取值范围; (3)若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线,试求Q的短轴的端点的轨迹方程. |
答案
解(1)因为点M在x轴上,令y=0代入l:kx-y+2k=0(k≠0),解得x=-2, 所以M(-2,0),所以抛物线C:y2=mx(m≠0)的准线为x=-2=-,所以m=8 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)由消去x得ky2-8y+16k=0(k≠0)△=64(1-k2)>0∴0<k2<1 ∴=,= ∴AB的中垂线方程为y-=-[x-],令y=0得p=x=4+=+2∵ 0<k2<1∴p∈(6,+∞) (3)∵抛物线焦点F(2,0),准线x=-2 ∴x=-2是Q的左准线 设Q的中心为O′(x,0),则短轴端点为(x,±y) (i)若F为左焦点,则c=x-2>0,b=|y| ∴a2=b2+c2=(x-2)2+y2 依左准线方程有x-=-2∴x-=-2即y2=4(x-2)(x>2) (ii)若F为右焦点,则0<x<2,故c=2-x,b=|y| ∴a2=b2+c2=(2-x)2+y2依左准线方程有x-=-2 即∴x-=-2化简得2x2-4x+y2=0 即2(x-1)2+y2=2(0<x<2,y≠0) |
举一反三
求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过点P(-2,-4)的抛物线的方程. |
已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值. |
顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是( )A.y2=-x或x2=y | B.x2=±8y或x2=y | C.x2=y | D.y2=-x | 已知直线l交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,且∠AOB=90°,其中,点O为坐标原点,点A的坐标为(1,2). (I)求抛物线C的方程; (II)求点B的坐标. | 当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是( )A.x2=32y或y2=-x | B.x2=-32y或y2=x | C.y2=32x或x2=-y | D.y2=-32x或x2=y |
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