设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异两点，且OP•OQ=0，直线PQ 与x 轴相交于E．（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离

题型：汕头二模难度：来源：

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上相异两点，且

•

=0，直线PQ 与x 轴相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有

，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．魔方格

答案

（Ⅰ）∵

•

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在抛物线上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，故得

y12y22

4p2

+y1y2=0，
y₁y₂=-4p²⇒|y₁y₂|=4p²，又|y₁y₂|=4，故得4p²=4，p=1．∴y²=2x，…（4分）
设E（a，0）（a≠0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程

x=my+a

y2=2px

，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa=-4p²，∴a=2p=2，∴S△OPQ=

|OE|×(|y1|+|y2|)≥

×2×2

|y1y2|

=4，∴面积最小值为4．…（6分）
（Ⅱ）设E（a，0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程组

x=my+a

y2=2px

，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa①
设F（b，0），R（x₃，y₃），同理可知，y₁y₃=-2pb②
由①、②可得

③
若

，设T（c，0），则有（x₃-c，y₃-0）=3（x₂-c，y₂-0），∴y₃=3y₂即

=3④
将④代入③，得b=3a．又由（Ⅰ）知，

•

=0，y₁y₂=-4p²，代入①，
可得-2pa=-4p²，a=2p．故b=6p．
故知，在x轴上，存在异于E的一点F（6p，0），使得

．…（12分）

举一反三

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为

100

=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0，

)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？魔方格

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顶点在原点，且过点（-2，4）的抛物线的标准方程是______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为______．

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已知直线x=-1的方向向量为

及定点F（1，0），动点M，N，G满足

=0，

，

•（

）=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知m是非零实数，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F在直线l：x-my-

=0上．
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．魔方格

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设P（x1，y1），Q（x2，y2） 是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异两点，且OP•OQ=0，直线PQ 与x 轴相交于E．（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离