已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM•PF=0.(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点F且斜率为k
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已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM•PF=0.(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点F且斜率为k
题型:不详
难度:
来源:
已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足
PN
+
1
2
NM
=
0
,
PM
•
PF
=0.
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|
2
+|CB|
2
=|AB|
2
成立,请说明理由.
答案
(Ⅰ)设N(x,y),则由
PN
+
1
2
NM
=0
,得P为MN的中点.
∴
P(0,
y
2
)
,M(-x,0).
∴
PM
=(-x,-
y
2
)
,
PF
=(1,-
y
2
)
.
∴
PM
•
PF
=-x+
y
2
4
=0
,即y
2
=4x.
∴动点N的轨迹E的方程y
2
=4x.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),由
y=k(x-1)
y
2
=4x
,消去x得
y
2
-
4
k
y-4=0
.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
y
1
+
y
2
=
4
k
,y
1
y
2
=-4.
假设存在点C(m,0)满足条件,则
CA
=(
x
1
-m,
y
1
)
,
CB
=(
x
2
-m,
y
2
)
,
∴
CA
•
CB
=
x
1
x
2
-m(
x
1
+
x
2
)+
m
2
+
y
1
y
2
=
(
y
1
y
2
4
)
2
-m(
y
1
2
+
y
2
2
4
)+
m
2
-4
=
-
m
4
[(
y
1
+
y
2
)
2
-2
y
1
y
2
]+
m
2
-3
=
m
2
-m(
4
k
2
+2)-3
.
∵
△=(
4
k
2
+2
)
2
+12>0
,
∴关于m的方程
m
2
-m(
4
k
2
+2)-3=0
有解.
∴假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|
2
+|CB|
2
=|AB|
2
成立.
举一反三
已知抛物线C
1
:x
2
=2py(p>0)上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线C
1
的方程;
(Ⅱ)过点P(0,-2)的直线交抛物线C
1
于A,B两点,设抛物线C
1
在点A,B处的切线交于点M,
(ⅰ)求点M的轨迹C
2
的方程;
(ⅱ)若点Q为(ⅰ)中曲线C
2
上的动点,当直线AQ,BQ,PQ的斜率k
AQ
,k
BQ
,k
PQ
均存在时,试判断
k
PQ
k
AQ
+
k
PQ
k
BQ
是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.
(I)求抛物线S的方程;
(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.
题型:不详
难度:
|
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设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
) 是抛物线C:y
2
=2px(p>0)上相异两点,且
OP
•
OQ
=0
,直线PQ 与x 轴相交于E.
(Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值;
(Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有
TR
=3
TQ
,若存在,求出F 点的坐标(用p 表示),若不存在,说明理由.
题型:汕头二模
难度:
|
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学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为
x
2
100
+
y
2
25
=1
,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、
M(0,
64
7
)
为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
题型:上海
难度:
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题型:不详
难度:
|
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并列句
形容词的词义辨析
生物多样性的内涵
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化学反应速率
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