已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.(I)求
题型:不详难度:来源:
已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0. (I)求抛物线S的方程; (II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点. |
答案
(I)设抛物线S的方程为y2=2px.(1分) 由可得2y2+py-20p=0.(3分) 由△>0,有p>0,或p<-160. 设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=-, ∴x1+x2=(5-)+(5-)=10-=10+.(5分) 设A(x3,y3),由△ABC的重心为F(,0),则=,=0, ∴x3=-10,y3=.(6分) ∵点A在抛物线S上, ∴()2=2p(-10), ∴p=8.(7分) ∴抛物线S的方程为y2=16x.(8分) (II)当动直线PQ的斜率存在时, 设动直线PQ方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.(9分) ∵PO⊥OQ, ∴kOP•kOQ=-1. 设P(xP,yP)Q(xQ,yQ) ∴•=-1, ∴xPxQ+yPyQ=0.(10分) 将y=kx+b代入抛物线方程,得ky2-16y+16b=0, ∴yPyQ=. 从而xPxQ==, ∴+=0. ∵k≠0,b≠0, ∴b=-16k, ∴动直线方程为y=kx-16k=k(x-16), 此时动直线PQ过定点(16,0).(12分) 当PQ的斜率不存在时,显然PQ⊥x轴,又PO⊥OQ, ∴△POQ为等腰直角三角形. 由得到P(16,16),Q(16,-16), 此时直线PQ亦过点(16,0).(13分) 综上所述,动直线PQ过定点:M(16,0).(14分) |
举一反三
设P(x1,y1),Q(x2,y2) 是抛物线C:y2=2px(p>0)上相异两点,且•=0,直线PQ 与x 轴相交于E. (Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值; (Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有=3,若存在,求出F 点的坐标(用p 表示),若不存在,说明理由. |
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为+=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令? |
顶点在原点,且过点(-2,4)的抛物线的标准方程是______. |
已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为______. |
已知直线x=-1的方向向量为及定点F(1,0),动点M,N,G满足-=0,+=2,•(-)=0,其中点N在直线l上. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由. |
最新试题
热门考点