已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=p

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=

p

2

于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

答案

（1）设A(x1，

x12

2p

)，则A处的切线方程为l1：y=

x1

p

x-

x12

2p

，
可得：D(

x1

2

，0)，Q(0，-

x 21

2p

)
∴|FQ|=

p

2

+

x 21

2p

=|AF|；
∴△AFQ为等腰三角形．
由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
∴|AF|=4，得：

p 2 + x 21 2p =4 x 21 +p2=16

∴p=2，C：x²=4y．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为y=

x2

2

x-

x22

4

联立

y= x2 2 x- x 22 4 y= x1 2 x- x 21 4

得到点P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，联立

y= x1 2 x- x 21 4 y=1

得到点M(

x1

2

+

2

x1

，1)．
同理N(

x2

2

+

2

x2

，1)，
设h为点P到MN的距离，则S△=

1

2

|MN|•h=

1

2

×(

x1

2

+

2

x1

-

x2

2

-

2

x2

)(1-

x1x2

4

)=

(x2-x1)(4-x1x2)2

16x1x2

  ①

设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，
由

y=kx+b x2=4y

得到x²-4kx-4b=0，
得

x1+x2=4k x1x2=-4b

代入①得：S_△=

16k2+16b (4+4b)2

64b

=

(1+b)2 k2+b

b

，
要使面积最小，则应k=0，得到S△=

(1+b)2 b

b

②
令

b

=t，得S△(t)=

(1+t2)2

t

=t3+2t+

1

t

，则

S

′△

(t)=

(3t2-1)(t2+1)

t2

，
所以当t∈(0，

3

3

)时，S（t）单调递减；当t∈(

3

3

，+∞)时，S（t）单调递增，
所以当t=

3

3

时，S取到最小值为

16 3

9

，此时b=t2=

1

3

，k=0，
所以y1=

1

3

，解得x1=

2 3

3

．
故△PMN面积取得最小值时的x₁值为

2 3

3

．