已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且MA
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已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且MA
题型:不详
难度:
来源:
已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且
MA
=
λ
1
AF
,
MB
=
λ
2
BF
,求λ
1
+λ
2
的值.
答案
(1)由题意知动点P到F(1,0)的距离与直线x=-1的距离相等,
由抛物线定义知,动点P在以F(1,0)为焦点,
以直线x=-1为准线的抛物线上,
方程为y
2
=4x.
(2)由题设知直线的斜线存在,设直线AB的方程为:y=k(x-1),
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由
y=k(x-1)
y
2
=4x
,得k
2
x
2
-2(k
2
+2)x+k
2
=0,
∵
x
1
+
x
2
=
2(
k
2
+2)
k
2
,x
1
x
2
=1,
由
MA
=λ
1
AF
,得k
2
x
2
-2(k
2
+2)x+k
2
=0,
∴
x
1
+
x
2
=
2(
k
2
+2)
k
2
,x
1
x
2
=1,
由
MA
=
λ
1
AF
,得
λ
1
=-1-
2
x
2
-1
,
同理
λ
2
=-1-
2
x
2
-1
,
∴
λ
1
+
λ
2
=-2-2(
1
x
1
-1
+
1
x
2
-1
)=0
.
举一反三
已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题:
1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?
题型:不详
难度:
|
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已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足
PN
+
1
2
NM
=
0
,
PM
•
PF
=0.
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|
2
+|CB|
2
=|AB|
2
成立,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C
1
:x
2
=2py(p>0)上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线C
1
的方程;
(Ⅱ)过点P(0,-2)的直线交抛物线C
1
于A,B两点,设抛物线C
1
在点A,B处的切线交于点M,
(ⅰ)求点M的轨迹C
2
的方程;
(ⅱ)若点Q为(ⅰ)中曲线C
2
上的动点,当直线AQ,BQ,PQ的斜率k
AQ
,k
BQ
,k
PQ
均存在时,试判断
k
PQ
k
AQ
+
k
PQ
k
BQ
是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.
(I)求抛物线S的方程;
(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.
题型:不详
难度:
|
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设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
) 是抛物线C:y
2
=2px(p>0)上相异两点,且
OP
•
OQ
=0
,直线PQ 与x 轴相交于E.
(Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值;
(Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有
TR
=3
TQ
,若存在,求出F 点的坐标(用p 表示),若不存在,说明理由.
题型:汕头二模
难度:
|
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