设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为______.
题型:郑州二模难度:来源:
设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为______. |
答案
焦点坐标(,0),|0F|=, 直线的点斜式方程 y=2(x-) 在y轴的截距是- S△OAF=××=4 ∴a2=64,∵a>0∴a=8,∴y2=8x 故答案为:y2=8x |
举一反三
已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值. |
已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1. (1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程; (2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题: 1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点? |
已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足+=,•=0. (Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程; (Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由. |
已知抛物线C1:x2=2py(p>0)上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3. (Ⅰ)求抛物线C1的方程; (Ⅱ)过点P(0,-2)的直线交抛物线C1于A,B两点,设抛物线C1在点A,B处的切线交于点M, (ⅰ)求点M的轨迹C2的方程; (ⅱ)若点Q为(ⅰ)中曲线C2上的动点,当直线AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在时,试判断+是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由. |
已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0. (I)求抛物线S的方程; (II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足PO⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点. |
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