解:(1)由抛物线的定义,得,解得p=2 故抛物线C的方程为x2=4y。 (2)(i)依题意知,过点F"(0,-1)且与曲线C相切的直线的斜率存在,设其方程为y=kx-1, 由得x2-4kx+4=0 令Δ=0得k=±1 故所求的两条切线分别为l1:y=x-1;l2:y=-x-1 设l1交x轴于点A,l2交x轴于点B 由得A(1,0), 由得B(-1,0) 设△ABF"的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 解得 故△ABF的外接圆方程为x2+y2=1,它过点F(0,1)。 (ii)命题:设F"为抛物线x2=2py外一点,若过点F"作抛物线的两条切线l1,l2,分别交x轴于A,B两点,则△ABF"的外接圆过此抛物线的焦点F, 证明:设l1,l2分别切抛物线x2=2py于P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则x1≠0,x2≠0 ∵y"=,故l1,l2的方程分别为(x-x1)和y-y2= 由得 由得 由得F" AB的垂直平分线方程为 AF′的垂直平分线方程为 它们的交点为 又, 故AF的中点为 所以, ∴。 |