解:(1)由题意设 由得,则 所以 因此直线MA的方程为 直线MB的方程为 所以 ① ② 由①、②得 因此,即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。 (2)解:由(1)知,当x0=2时,将其代入①、②并整理得: , 所以,x1、x2是方程的两根, 因此 又 所以 由弦长公式得 又, 所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为或。 (3)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2,y1+ y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上, 代入得 若D(x3,y3)在抛物线上,则 因此,x3=0或x3=2x0 即D(0,0)或 (i)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意; (ii)当,对于D(0,0),此时 又,AB⊥CD, 所以 即矛盾 对于,因为此时直线CD平行于y轴, 又 所以,直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾, 所以时,不存在符合题意的M点 综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意。 |