一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽AB=4米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.(

一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽AB=4米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.(

题型:不详难度:来源:
一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽AB=4米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.
(1)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程;
(2)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少?
答案
(1)如图:以抛物线的顶点为原点,AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A(-2,2),B(2,2)
设抛物线的方程为x2=2Py(P>0),
将点B(2,2)代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x2=2y(-2≤x≤2)
(2)设等腰梯形的腰与抛物线相切于P(t,
1
2
t2)
,(不妨t>0)
则过P(t,
1
2
t2)
的切线l的斜率为y′|x=t=t
所以切线l的方程为:y-
t2
2
=t(x-t)
,即y=tx-
t2
2

令y=0,得x=
t
2

令y=2,得x=
t
2
+
2
t

所以梯形面积S=
1
2
[2•(
t
2
+
2
t
)+2•
t
2
]•2=2(t+
2
t
)≥4


2

当仅当t=
2
t
,即t=


2
时,“=”成立
此时下底边长为2(


2
2
+
2


2
)=3


2

答:当梯形的下底边长等于3


2
米时,挖出的土最少.
举一反三
已知直线l1:3x-4y-9=0和直线l2:y=-
1
4
,抛物线y=x2上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______.
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若圆(x-3)2+y2=16与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p值为(  )
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