如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线方程.(2)现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要

如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线方程.(2)现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要

题型:不详难度:来源:
如图,一水渠的横断面是抛物线形,O是抛物线的顶点,口宽EF=4米,高3米
(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线方程.
(2)现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不变,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大时,所挖的土最少?
答案
(1)如图以O为原点,AB所在的直线为X轴,建立平面直角坐标系,
则F(2,3),设抛物线的方程是x2=2py(p>0)
因为点F在抛物线上,所以4=2p×3,p=
2
3

所以抛物线的方程是x2=
4
3
y
(5分)
(2)等腰梯形ABCD中,ABCD,线段AB的中点O是抛物线的顶点,AD,AB,BC分别与抛物线切于点M,O,N
y"=
3
2
x,设N(x0,y0),x0>0,,
则抛物线在N处的切线方程是y-y0=
3
2
x0(x-x0)
,所以B(
1
2
x0,0)C(
4+x02
2x0
,3)
,(10分)
梯形ABCD的面积是S=
1
2
(x0+
4+x02
2x0
)×3
=
3
2
(2x0+
4
x0
)=3(x0+
2
x0
)
≥6


2
,等号当且仅当x0=


2
时成立,
答:梯形ABCD的下底AB=


2
米时,所挖的土最少(12分)
举一反三
已知顶点在原点O,焦点在x轴上的抛物线过点(3,


6
)

(1)求抛物线的标准方程;
(2)若抛物线与直线y=x-2交于A、B两点,求证:kOA•kOB=-4.
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如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成,为保安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.若行驶车道总宽度AB为6m,计算车辆通过隧道的限制高度是多少米?(精确到0.1m)
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如图,直线y=
1
2
x与抛物线y=
1
8
x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值.
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一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过横断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍,|AB|=am,,求能使卡车通过的a的最小整数值.
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已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的焦点,过P的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(1)当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线l的方程;
(2)设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求△FAB的面积.
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