已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=42.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线过点F交

已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=42.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线过点F交

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=4


2

(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线过点F交抛物线于A,B两点,交x轴于点M,且


MA
=a


AF


MB
=b


BF
,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.
答案
(1)由





y=x
x2=2py
,解得O(0,0),N(2p,2p)
|ON|=4


2

∴4p2+4p2=32
∴p=2
∴抛物线C的方程为x2=4y;
(2)显然直线l的斜率一定存在,设其方程为y=kx+1,l与x轴交于M(-
1
k
,0)
设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2
直线与抛物线联立,消元可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k,x1x2=-4


MA
=a


AF
,得(x1+
1
k
,y1)=a(-x1,1-y1),即a=-
kx1+1
kx1

同理b=-
kx2+1
kx2

∴a+b=-(2+
x2+x1
kx1x2
)=-1
∴对任意的直线l,a+b为定值.
举一反三
将抛物线y=x2的图象按


a
=(2,1)
平移后,抛物线与直线2x-y+c=0相切,则c=______.
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已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=-1,过点(1,0)作倾斜角为
π
4
的直线l交该抛物线于两点(x1,y1),B(x2,y2).
求(1)p的值;(2)弦长|AB|.
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设AB为过抛物线y2=8x的焦点的弦,若A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),,则实数m的最小值为(  )
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A.2B.4C.8D.16
已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为______.
已知点A(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,使|PA|+|PF|取得最小值,则最小值为(  )
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