已知抛物线方程为y2=4x,过Q(2,0)作直线l.①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,
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已知抛物线方程为y2=4x,过Q(2,0)作直线l.①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,
题型:同步题
难度:
来源:
已知抛物线方程为y
2
=4x,过Q(2,0)作直线l.
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
答案
解:①设l的方程为:y=k(x﹣2),
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
消去
得:
,
,y
1
y
2
=﹣8
若∠AEQ=∠BEQ,则k
AE
+k
BC
=0
即:
y
1
x
2
+y
2
x
1
﹣m(y
1
+y
2
)=0
﹣2(y
1
+y
2
)﹣m(y
1
+y
2
)=0
m=﹣2
故存在m=﹣2,使得∠AEQ=∠BEQ
②设P(x
0
,y
0
)在抛物线上,
由抛物线的对称性,不妨设y
0
>0,则过P点的切线斜率
,
切线方程为:
,且
(9分)
令
,
∴
令
,
∴
则以QN为直径的圆的圆心坐标为
,半径
∴
=
∴
举一反三
如图,等边三角形OAB的边长为
,且其三个顶点均在抛物线E:x
2
=2py(p>0)上。
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
题型:高考真题
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
2
+ax和g(x)=x﹣a,其中a∈R,且a≠0.
(I)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值;
(II)若p和q是方程f(x)﹣g(x)=0的两正根,且
,证明:当x∈(0,P)时,f(x)<P﹣a.
题型:期末题
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在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y
2
=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A、B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60 °,则△OAF的面积为( )。
题型:高考真题
难度:
|
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一直线过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点.
(1)求证:∠ACB不可能是钝角;
(2)是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:同步题
难度:
|
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设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点在抛物线y=2x
2
上,l是AB的垂直平分线,
(Ⅰ)当且仅当x
1
+x
2
取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;
(Ⅱ)当x
1
=1,x
2
=﹣3时,求直线l的方程.
题型:期末题
难度:
|
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