一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点.(1)求证:∠ACB不可能是钝角;(2)是否存在这样的点C,使得△A
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一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点. (1)求证:∠ACB不可能是钝角; (2)是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
解:设, 直线AB方程为 由,得:y2﹣2pty﹣p2=0, 则 ∴. , ∴ ∴不可能为钝角, 故∠ACB不可能是钝角 (2)假设存在点C,使得△ABC为正三角形 由(1)得:线段AB的中点为 ①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,, 点C的坐标只可能是, 由,得:,矛盾, 于是直线AB的斜率必存在. ②由CM⊥AB,得:kCMkAB=﹣1, 即, ∴m=pt3+2pt, ∴,|AB|=2p(t2+1), 由,得:, ∴ 故存在点,使得△ABC为正三角形. |
举一反三
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