已知f(x)=2x-12x+1,(1)求函数f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的单调性.

已知f(x)=2x-12x+1,(1)求函数f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的单调性.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=
2x-1
2x+1

(1)求函数f(x)的定义域、值域.
(2)讨论f(x)的单调性.
答案
(1)∵∀x∈R,都有2x>0,
∴2x+1>1,
故函数f(x)=
2x-1
2x+1
的定义域为实数集R.
∵f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1

而2x>0,
∴2x+1>1,
∴0<
2
2x+1
<2,
∴-2<-
2
2x+1
<0,
∴-1<1-
2
2x+1
<1.
即-1<f(x)<1.
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)∀x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1-
2
2x1+1
-(1-
2
2x2+1
)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵2>1,∴2x1+1>0,2x2+1>0,2x1-2x2<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在实数集R上单调递增.
举一反三
为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林,经初步统计,在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩,若从2003年初开始绿化造林,第一年造林120万亩,以后每年比前一年多绿化60万亩.
(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都成功,问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化?
(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米,每年树木木材量的自然生长率为20%,那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完成的那一年底,一共有木材多少万立方米?(保留1位小数,1.29=5.16,1.28=4.30)
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近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快,已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦,年增长率为34%.在此后的四年里,增长率以每年2%的速度增长(例如2003年的年生产量增长率为36%)
(1)求2006年的太阳能年生产量(精确到0.1兆瓦)
(2)已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦,在此后的4年里年生产量保持42%的增长率,若2010年的年安装量不少于年生产量的95%,求4年内年安装量的增长率的最小值(精确到0.1%)
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三个数1,(0.3)2,20.3的大小顺序是(  )
A.(0.3)2<20.3<1B.(0.3)2<1<20.3
C.1<(0.3)2<20.3D.20.3<1<(0.3)2
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已知函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)过定点A.
(1)求点A的坐标;
(2)解关于x的不等式f(x)>2.
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某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水量不超过4吨时,按每吨1.8元收费;当每户每月用水量超过4吨时,其中4吨按每吨为1.8元收费,超过4吨的部分按每吨3.00元收费.设每户每月用水量为x吨,应交水费y元.
(Ⅰ)求y关于x的函数关系;
(Ⅱ)某用户1月份用水量为5吨,则1月份应交水费多少元?
(Ⅲ)若甲、乙两用户1月用水量之比为5:3,共交水费26.4元,分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费.
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