已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F．（1）求抛物线C的方程；（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A，B两点若在x轴上存在一点E（x0，0），

题型：河南省模拟题难度：来源：

已知直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A，B两点若在x轴上存在一点E（x₀，0），使得△ABE是等边三角形，求x₀的值．

答案

解：（1）直线x+y=1与x轴交于（1，0）
∵直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F
∴抛物线的焦点为F（1，0），故p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）
代入y²=4x（x＞0），
消元可得k²x²+2（k²﹣2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，x₁x₂=1，
∴AB的中点为，
∴线段AB的垂直平分线方程为，
令y=0，得
∵△ABE是等边三角形，
∴点E到直线l的距离为，
∵点E到直线l的距离为，，
∴
∴
∴．