已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F.(1)求抛物线C的方程;(2)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A,B两点若在x轴上存在一点E(x0,0),

已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F.(1)求抛物线C的方程;(2)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A,B两点若在x轴上存在一点E(x0,0),

题型:河南省模拟题难度:来源:
已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A,B两点若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
答案
解:(1)直线x+y=1与x轴交于(1,0)
∵直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F
∴抛物线的焦点为F(1,0),故p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l:y=k(x+1)(k≠0)
代入y2=4x(x>0),
消元可得k2x2+2(k2﹣2)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
,x1x2=1,
∴AB的中点为
∴线段AB的垂直平分线方程为
令y=0,得
∵△ABE是等边三角形,
∴点E到直线l的距离为
∵点E到直线l的距离为


举一反三
已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为的直线交C于A,B两点.设|FA|>|FB|,则的值等于(    ).
题型:北京同步题难度:| 查看答案
设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一个动点,与x轴正方向的夹角为60°,求||的值.
题型:北京同步题难度:| 查看答案
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(    )(填写所有正确选项的序号).
①菱形
②有3条边相等的四边形
③梯形
④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点.
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A,B两点,求弦长|AB|.
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则a的值为(    ).
题型:江苏期中题难度:| 查看答案
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