已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B

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已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．

答案

解：（1）设Q（x，y），
∵Q是OP中点，
∴P（2x，2y）
又∵点P在抛物线y²=4x上
∴（2y）²=4×2x，
即y²=2x为点Q的轨迹方程
（2）∵F（1，0），

，
∴直线AB的方程为：

设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线AB的方程代入y²=2x，
消去y得：3x²﹣8x+3=0
∴

∴

举一反三

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则a的值为（）．

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过抛物线y²=4x的焦点F作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=（）．

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已知抛物线y²=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于

时，求k的值．

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已知直线y=2x+1与抛物线x²=4y交于A，B两点，O为坐标原点．点C位于抛物线弧AOB上，求点C坐标使得△ABC面积最大．

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抛物线y=4x²上一点到直线y=4x﹣5的距离最短，则该点的坐标是 [ ]
A．（1，2）
B．（0，0）
C．

D．（1，4）

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已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点． （1）求点Q的轨迹方程； （2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B