设A （x1 ，y1 ），B （x2 ，y2）为抛物线y2=2px（p>0）上位于x 轴两侧的两点．  （1）若y1y2=-2p ，证明直线AB 恒过一个

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设A （x₁ ，y₁ ），B （x₂ ，y₂）为抛物线y²=2px（p>0）上位于x 轴两侧的两点．  
（1）若y₁y₂=-2p ，证明直线AB 恒过一个定点； 
（2）若p=2 ，∠AOB（O为坐标原点）为钝角，求直线AB 在x轴上截距的取值范围．

答案

（1）证明：设直线AB在x轴上的截距为t，直线AB的方程为x=my+t，代人y2=2px（p>0），得y²=2p（my+t），即y²-2pmy-2pt=0，
于是-2p=y₁y₂=-2pt，所以t=1，
即直线AB恒过定点（1，0）．
（2）解：∠AOB（O为坐标原点）为钝角，
∴，即x₁x₂+y₁y₂<0．
∵
∴
于是
由（1）得y₁·y₂=-2pt，
∴
又p=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=t²-2pt=t²-4t<0
解得0<t<4，
即直线AB在x轴上的截距的取值范围是（0，4）．