在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;(2)写出(1)中命题的逆命题

在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;(2)写出(1)中命题的逆命题

题型:陕西省期末题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
答案
解:(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,
此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,﹣).
=3;
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣3),其中k≠0,
得ky2﹣2y﹣6k=0y1y2=﹣6
又∵

综上所述,命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,
如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),
此时=3,
直线AB的方程为:,而T(3,0)不在直线AB上;
说明:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足=3,
可得y1y2=﹣6,或y1y2=2,
如果y1y2=﹣6,可证得直线AB过点(3,0);
如果y1y2=2,可证得直线AB过点(﹣1,0),而不过点(3,0).
举一反三
已知直线l:y=kx+k+1,抛物线C:y2=4x,定点M(1,1).
(I)当直线l经过抛物线焦点F时,求点M关于直线l的对称点N的坐标,并判断点N是否在抛物线C上;
(II)当k(k≠0)变化且直线l与抛物线C有公共点时,设点P(a,1)关于直线l的对称点为Q(x0,y0),求x0关于k的函数关系式x0=f(k);若P与M重合时,求x0的取值范围.
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A,B两点,且,则|AF|+|BF|=[     ]
A.
B.
C.8
D.
题型:云南省模拟题难度:| 查看答案
直线y=x﹣3与抛物线=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为[     ]
A.48
B.56
C.64
D.72
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p=(    )
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A,B两点若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
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