已知四点O(0,0),,M(0,1),N(0,2),点P(x0,y0)在抛物线x2=2y上。(1)当x0=3时,延长PN交抛物线于另一点Q,求∠POQ的大小;(
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已知四点O(0,0),,M(0,1),N(0,2),点P(x0,y0)在抛物线x2=2y上。(1)当x0=3时,延长PN交抛物线于另一点Q,求∠POQ的大小;(
题型:专项题
难度:
来源:
已知四点O(0,0),
,M(0,1),N(0,2),点P(x
0
,y
0
)在抛物线x
2
=2y上。
(1)当x
0
=3时,延长PN交抛物线于另一点Q,求∠POQ的大小;
(2)当点P(x
0
,y
0
)(x
0
≠0)在抛物线x
2
=2y上运动时,
(i)以MP为直径作圆,求该圆截直线
所得的弦长;
(ii)过点P作x轴的垂线交x轴于点A,过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B,问:是否总有∠FPB=∠BPA?如果有,请给予证明;如果没有,请举出反例。
答案
解:(1)当x
0
=3时,
直线PN:
代入x
2
=2y,
得
或3,
所以
所以∠POQ=90°。
(2)(i)以MP为直径的圆的圆心为
所以圆的半径
圆心到直线
的距离
故截得的弦长
=2
。
(ii)总有∠FPB=∠BPA
证明:
,y"=x,
所以切线l的方程为
即
令y=0,得
,
所以点B的坐标为
点B到直线PA的距离为
下面求直线PF的方程
因为
所以直线PF的方程为
整理得
所以点B到直线PF的距离为
所以d
1
=d
2
,
所以∠FPB=∠BPA。
举一反三
以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0,则它与曲线
(α为参数)的交点的直角坐标是( )。
题型:专项题
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设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),过焦点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若直线l的倾斜角为45°,则弦AB的中点坐标为
[ ]
A.(1,0)
B.(2,2)
C.(3,2)
D.(2,4)
题型:陕西省模拟题
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过抛物线y
2
=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线
[ ]
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在
题型:上海高考真题
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若曲线y
2
=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点,则k、b分别应满足的条件是( )。
题型:上海高考真题
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设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x
2
=2py(p≠0)的异于原点的交点,
(1)若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标;
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆
+y
2
=1上,p=
,求证:点Q落在双曲线4x
2
-4y
2
=1上;
(3)若动点P(a,b)满足ab≠0,p=
,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由。
题型:上海高考真题
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