(12分)(2011•福建)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(Ⅰ)求实数b的值;(Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程
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(12分)(2011•福建)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程. |
答案
(Ⅰ)b=﹣1(Ⅱ)(x﹣2)2+(y﹣1)2=4 |
解析
试题分析:(I)由,得:x2﹣4x﹣4b=0,由直线l与抛物线C相切,知△=(﹣4)2﹣4×(﹣4b)=0,由此能求出实数b的值. (II)由b=﹣1,得x2﹣4x+4=0,解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得点A的坐标为(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离,由此能求出圆A的方程. 解:(I)由,消去y得:x2﹣4x﹣4b=0①, 因为直线l与抛物线C相切, 所以△=(﹣4)2﹣4×(﹣4b)=0, 解得b=﹣1; (II)由(I)可知b=﹣1, 把b=﹣1代入①得:x2﹣4x+4=0, 解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得y=1, 故点A的坐标为(2,1), 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离, 即r=|1﹣(﹣1)|=2, 所以圆A的方程为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4. 点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. |
举一反三
(5分)(2011•广东)设圆C与圆x2+(y﹣3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( ) |
(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP. (1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程; (2)已知T(1,﹣1),设H是E上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标; (3)过点T(1,﹣1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围. |
(5分)(2011•湖北)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( ) |
(5分)(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2,则抛物线的方程是( )A.y2=﹣8x | B.y2=8x | C.y2=﹣4x | D.y2=4x |
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过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为,则等于 . |
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