求由抛物线y2=x-1与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积.

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求由抛物线y²=x-1与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积.

答案

解析

【思路点拨】将抛物线方程化为y=±

.利用导数求出其切线方程,再由定积分的几何意义求面积.
解：y=±

,y"_x=±

.
∵过点(2,1)的直线斜率为f"(2)=

,
直线方程为y-1=

(x-2),即y=

x.同理,过点(2,-1)的直线方程为y=-

x,抛物线顶点在(1,0).如图所示:

由抛物线y²=x-1与两条切线y=

x,y=-

x围成的图形面积为:
S=S_△AOB-2

dx=

×2×2-2×

×(x-1

=2-

(1-0)=

举一反三

抛物线y＝x²上的点到直线x＋y＋1＝0的最短距离为________．

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已知⊙P的半径等于6，圆心是抛物线y²＝8x的焦点，经过点M(1，－2)的直线l将⊙P分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l的方程为(　　)

A．x＋2y＋3＝0	B．x－2y－5＝0
C．2x＋y＝0	D．2x－y－5＝0

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已知直线l过抛物线y²＝4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴的距离分别为m，n，则m＋n＋2的最小值为(　　)

A．4

B．6

C．4

D．6

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已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

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以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1，m）到焦点的距离为3，则其方程是

A．y＝4x²

B．y＝8x²　

C．y²＝4x　

D．y²＝8x

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