求由抛物线y2=x-1与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积.

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求由抛物线y2=x-1与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的面积.
答案

解析
【思路点拨】将抛物线方程化为y=±.利用导数求出其切线方程,再由定积分的几何意义求面积.
解:y=±,y"x.
∵过点(2,1)的直线斜率为f"(2)=,
直线方程为y-1=(x-2),即y=x.同理,过点(2,-1)的直线方程为y=-x,抛物线顶点在(1,0).如图所示:

由抛物线y2=x-1与两条切线y=x,y=-x围成的图形面积为:
S=S△AOB-2dx=×2×2-2××(x-1=2-(1-0)=.
举一反三
抛物线yx2上的点到直线xy+1=0的最短距离为________.
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已知⊙P的半径等于6,圆心是抛物线y2=8x的焦点,经过点M(1,-2)的直线l将⊙P分成两段弧,当优弧与劣弧之差最大时,直线l的方程为(  )
A.x+2y+3=0 B.x-2y-5=0
C.2xy=0 D.2xy-5=0

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已知直线l过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于AB两点,且点ABy轴的距离分别为mn,则mn+2的最小值为(  )
A.4B.6C.4 D.6

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已知抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2l1垂直,且与抛物线交于不同的两点AB,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
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以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则其方程是
A.y=4x2B.y=8x2      C.y2=4x          D.y2=8x

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