已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C
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已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C
题型:不详
难度:
来源:
已知直线
l
1
:4
x
-3
y
+6=0和直线
l
2
:
x
=-
(
p
>2).若拋物线
C
:
y
2
=2
px
上的点到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线
C
的方程;
(2)若拋物线上任意一点
M
处的切线
l
与直线
l
2
交于点
N
,试问在
x
轴上是否存在定点
Q
,使
Q
点在以
MN
为直径的圆上,若存在,求出点
Q
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
y
2
=4
x
(2)存在定点
Q
(1,0),使
Q
在以
MN
为直径的圆上.
解析
(1)由定义知
l
2
为抛物线的准线,抛物线焦点
F
,由抛物线定义知抛物线上点到直线
l
2
的距离等于其到焦点
F
的距离.
所以抛物线上的点到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和的最小值为焦点
F
到直线
l
1
的距离.
所以2=
,则
p
=2,所以抛物线方程为
y
2
=4
x
.
(2)设
M
(
x
0
,
y
0
),由题意知直线斜率存在,设为
k
,且
k
≠0,所以直线
l
方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),
代入
y
2
=4
x
消
x
得
ky
2
-4
y
+4
y
0
-
k
=0.
由
Δ
=16-4
k
(4
y
0
-
k
)=0,得
k
=
.
所以直线
l
方程为
y
-
y
0
=
(
x
-
x
0
),
令
x
=-1,又由
=4
x
0
,得
N
.
设
Q
(
x
1
,0)则
=(
x
0
-
x
1
,
y
0
),
=
.
由题意知
·
=0,即(
x
0
-
x
1
)(-1-
x
1
)+
=0,把
=4
x
0
代入,得(1-
x
1
)
x
0
+
+
x
1
-2=0,因为对任意的
x
0
等式恒成立,所以
所以
x
1
=1,即在
x
轴上存在定点
Q
(1,0),使
Q
在以
MN
为直径的圆上.
举一反三
已知抛物线
的焦点为
,顶点为
,准线为
,过该抛物线上异于顶点
的任意一点
作
于点
,以线段
为邻边作平行四边形
,连接直线
交
于点
,延长
交抛物线于另一点
.若
的面积为
,
的面积为
,则
的最大值为____________.
题型:不详
难度:
|
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已知一条曲线
在
轴右侧,
上每一点到点
的距离减去它到
轴距离的差都是1.
(1)求曲线
的方程;
(2)设直线
交曲线
于
两点,线段
的中点为
,求直线
的一般式方程.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的焦点坐标为( )
A.(2,0)
B.(1,0)
C.(0,-4)
D.(-2,0)
题型:不详
难度:
|
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抛物线x
2
=y的焦点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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对抛物线
,下列描述正确的是
A.开口向上,焦点为
B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为
D.开口向右,焦点为
题型:不详
难度:
|
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