已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·=0,设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程;(2)试探究在轨迹T上是否存
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已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·=0,设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程; (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
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答案
(1)x2-x+y2=4 (2)存在,(1,-2)和(1,2) |
解析
(1)连接CP、OP,由·=0,知AC⊥BC, ∴|CP|=|AP|=|BP|=|AB|. 由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2, 即|OP|2+|CP|2=9. 设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简,得到x2-x+y2=4. (2)根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中=1, ∴p=2,故抛物线方程为y2=4x. 由方程组,得x2+3x-4=0, 解得x1=1,x2=-4,由于x≥0, 故取x=1,此时y=±2. 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2). |
举一反三
设M、N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2,与x轴分别交于A、B两点,且l1与l2相交于点P,若|AB|=1.
(1)求点P的轨迹方程; (2)求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值. |
如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲线C1和C2的方程; (2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积. |
对于抛物线上任意一点,点都满足,则的取值范围是___. |
直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是______________. |
经过抛物线的焦点,且方向向量为的直线的方程是( ) |
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