(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.(
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(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.(
题型:不详
难度:
来源:
(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.
(1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,﹣1),设H是E上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,﹣1)且不平行与y轴的直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l
1
的斜率k的取值范围.
答案
(1)y
2
=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)
(3)(﹣
]∪(0,+∞)
解析
试题分析:(1)由于直线l:x=﹣2交x轴于点A,所以A(﹣2,0),由于P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP,可以设点P,由于满足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程;
(2)由题意及点M的轨迹E的方程为y
2
=4(x+1),且已知T(1,﹣1),又H是E 上动点,点O及点T都为定点,利用图形即可求出;
(3)由题意设出过定点的直线方程l
1
并与点M的轨迹E的方程联立,利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0,即可得到所求.
解:(1)如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP,∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,设M(x,y) ①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|om|=
,|x+2|=
,化简得y
2
=4x+4 (x≥﹣1)②当M在x的负半轴上时,y=0(x<﹣1)综上所述,点M的轨迹E的方程为y
2
=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)由题意画出图形如下:
∵由(1)知道动点M 的轨迹方程为:y
2
=4(x+1).
是以(﹣1,0)为顶点,以O(0,0)为焦点,以x=﹣2为准线的抛物线,
由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点,则
利用抛物线的定义可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值,
由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故|HO|+|HT|的最小值时的H
.
(3)如图,设抛物线顶点A(﹣1,0),则直线AT的斜率
∵点T(1,﹣1)在抛物线内部,∴过点T且不平行于x,y轴的直线l
1
必与抛物线有两个交点则直线l
1
与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论:①当K
时,直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交点 ②当
时,直线l
1
与轨迹E有且只有三个不同的交点 ③当K=0时,直线l
1
与轨迹E有且只有一个交点 ④当K>0时,直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交点综上所述,直线l
1
的斜率K的取值范围是
(﹣
]∪(0,+∞)
点评:此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程,还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想,还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想.
举一反三
(5分)(2011•湖北)将两个顶点在抛物线y
2
=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )
A.n=0
B.n=1
C.n=2
D.n≥3
题型:不详
难度:
|
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(5分)(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2,则抛物线的方程是( )
A.y
2
=﹣8x
B.y
2
=8x
C.y
2
=﹣4x
D.y
2
=4x
题型:不详
难度:
|
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过抛物线
的焦点作一条直线交抛物线于
两点,若线段
的中点
的横坐标为
,则
等于
.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
过点
.
(1)求抛物线
的方程,并求其准线方程;
(2)过焦点
且斜率为
的直线
与抛物线交于
两点,求
的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知
分别为椭圆
的上下焦点,其中
也是抛物线
的焦点,点
是
与
在第二象限的交点,且
.
(1) 求椭圆
的方程;(5分)
(2) 已知点
和圆
,过点
的动直线
与圆
相交于不同的两
点
,在线段
上取一点
,满足
且
.
求证:点
总在某定直线上.(7分)
题型:不详
难度:
|
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