如图已知抛物线:过点,直线交于,两点,过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点,.(1)求的值;(2)是否存在定点,当直线过点时,△与△的面积相等?若存在,求

如图已知抛物线:过点,直线交于,两点,过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点,.(1)求的值;(2)是否存在定点,当直线过点时,△与△的面积相等?若存在,求

题型:不详难度:来源:
如图已知抛物线过点,直线两点,过点且平行于轴的直线分别与直线轴相交于点

(1)求的值;
(2)是否存在定点,当直线过点时,△与△的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)p=1;(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)因为在抛物线C上,所以将点P坐标代入方程,即可求得p=1.
(2)先假设存在定点Q,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=kx+b.联立,当时,有.由题意知,
因为△PAM与△PBN的面积相等,所以,即 解得.所求的定点Q即为点A,即l过Q(0,0)或Q (2,2)时,满足条件.
试题解析:(1)因为在抛物线C上,所以1=2p·,得p=1. 
(2)假设存在定点Q,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=kx+b.
联立,当时,有
所以()()=(*)由题意知,
因为△PAM与△PBN的面积相等,所以

也即
根据(*)式,得()2=1,解得
所求的定点Q即为点A,
即l过Q(0,0)或Q(2,2)时,满足条件.
举一反三
双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若的一个焦点与抛物线的焦点重合,且抛物线的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为(   )
A.6B.2C.D.

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已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是________.
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抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M的横坐标x=________.
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已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为________.
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抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是________.
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