已知动圆C经过点(0,m) (m>0),且与直线y=-m相切,圆C被x轴截得弦长的最小值为1,记该圆的圆心的轨迹为E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)是否存在
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已知动圆C经过点(0,m) (m>0),且与直线y=-m相切,圆C被x轴截得弦长的最小值为1,记该圆的圆心的轨迹为E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)是否存在
题型:不详
难度:
来源:
已知动圆C经过点(0,m) (m>0),且与直线y=-m相切,圆C被x轴截得弦长的最小值为1,记该圆的圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)是否存在曲线C与曲线E的一个公共点,使它们在该点处有相同的切线?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)x
2
=2y;(Ⅱ)存在题设的公共点B,其坐标为(±2
,4),公切线方程为y=2
(x-2
)+4或y=-2
(x+2
)+4,即y=±2
x-4.
解析
试题分析:(Ⅰ)根据定义法确定轨迹为抛物线,然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值;(Ⅱ)假设存在题设的公共点B(b,
b
2
).利用圆的切线性质,以及利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程的斜率建立等量关系,求解b的值进行论证.
试题解析:(Ⅰ)依题意,曲线E是以(0,m)为焦点,以y=-m为准线的抛物线.
曲线E的方程为x
2
=4my. 2分
设动圆圆心为A(a,
),则圆C方程为(x-a)
2
+(y-
)
2
=(
+m)
2
,
令y=0,得(x-a)
2
=
+m
2
.
当a=0时,圆C被x轴截得弦长取得最小值2m,于是m=
,
故曲线E的方程为x
2
=2y. 5分
(Ⅱ)假设存在题设的公共点B(b,
b
2
).
圆C方程为(x-a)
2
+(y-
a
2
)
2
=(
a
2
+
)
2
,
将点B坐标代入上式,并整理,得(b-a)
2
[1+
(a+b)
2
]=
(a
2
+1)
2
.①7分
对y=
x
2
求导,得y¢=x,则曲线E在点B处的切线斜率为b.
又直线AB的斜率k=
=
(a+b).
由圆切线的性质,有
(a+b)b=-1. ② 8分
由①和②得b
2
(b
2
-8)=0.
显然b≠0,则b=±2
. 9分
所以存在题设的公共点B,其坐标为(±2
,4),公切线方程为
y=2
(x-2
)+4或y=-2
(x+2
)+4,即y=±2
x-4. 12分
举一反三
过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)
抛物线
上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,F为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,(1)求直线AB的方程。
(2)在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积.
题型:不详
难度:
|
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已知动圆C经过点
,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点
的直线m交曲线E于A,B两点,过A,B两点分别作曲线E的切线,两切线交于点C,当△ABC的面积为
时,求直线m的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
:
,圆
:
(其中
为常数,
).过点(1,0)的直线
交圆
于
、D两点,交抛物线
于
、
两点,且满足
的直线
只有三条的必要条件是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
与抛物线
的准线相切,则
.
题型:不详
难度:
|
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