(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.(1)求抛物线
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(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.(1)求抛物线
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A
、B
、C
三点,过坐标原点O的直线
与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D
作平行于
轴的直线
、
.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)求证:以ON为直径的圆与直线
相切;(3)求线段MN的长(用
表示),并证明M、N两点到直线
的距离之和等于线段MN的长.
答案
(1)
;(2)见解析; (3)
解析
此题属于二次函数的综合题目,涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系,梯形的中位线定理,综合性较强,关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通.
(1)设函数解析式为y=ax
2
+bx+c,然后利用待定系数法求解即可;
(2)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),然后代入抛物线方程,用含y
2
的式子表示出ON,设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,利用梯形的中位线定理可得出EF,与所求ON的值进行比较即可得出结论;
(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,在RT△MNH中表示出MN
2
,结合直线方程将MN
2
化简,求出MN,然后延长NP交l
2
于点Q,过点M作MS丄l
2
交l
2
于点S,则MS+NQ=y
1
+2+y
2
+2,利用根与系数的关系,求出
,并代入,从而可得出结论。
解答:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为
由
,解得
,所以
……………………4分
(2)设
,因为点M、N在抛物线上,
所以
,
,所以
;
又
=
,所以ON=
,又因为
,
所以ON
设ON的中点为E,分别过点N、E向直线
作垂线,垂足分别为P、F,
则
所以ON=2EF,
即ON的中点到直线
的距离等于ON长度的一半, 所以以ON为直径的圆与直线
相切. …………………………………9分
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则
又
,所以
所以
;
又因为点M、N既在
的图象上,又在抛物线上,所以
,即
,
所以
,
所以
,所以
所以
延长NP交
于点Q,过点M作MS⊥交
于点S,
则MS+NQ=
又
=
所以MS+NQ=
即MN两点到
距离之和等于线段MN的长.…………………………………………14
举一反三
(示范高中做)抛物线
的焦点坐标为( ) .
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知A、B是抛物线
上任意两点(直线AB不垂直于
轴),线段AB的中垂线交
轴于点
,则
的取值范围是_______
题型:不详
难度:
|
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已知点
在抛物线
上,则点
到直线
的距离和到直线
的距离之和的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)已知顶点在坐标原点,焦点在
轴正半轴的抛物线上有一点
,
点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程;(2)设
为抛物线上的一个定点,过
作抛物线的两条互相垂直的弦
,
,求证:
恒过定点
.(3)直线
与抛物线交于
,
两点,在抛物线上是否存在点
,使得△
为以
为斜边的直角三角形.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线
与抛物线有公共点,则直线
的斜率的取值范围是____________
题型:不详
难度:
|
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