(13分)已知抛物线D的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合。(1)求抛物线D的方程;(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点(i)若直
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(13分)已知抛物线D的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合。(1)求抛物线D的方程;(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点(i)若直
题型:不详
难度:
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(13分)已知抛物线D的顶点是椭圆
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合。
(1)求抛物线D的方程;
(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点
(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;
(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程,如果不存在,说明理由。
答案
解:(1)y
2
=4x;(2)(i)|AB|=
;
(ii)存在直线m:x=3满足题意。
解析
本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查弦长的计算,解题的关键是联立方程,利用韦达定理求解,属于中档题
(1)根据抛物线D的顶点是椭圆
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合,设出抛物线方程,即可求得抛物线D的方程;
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).(i)直线l的方程代入抛物线方程,利用韦达定理可求|AB|;
(3) 设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(
),过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|
2
=|MG|
2
-|ME|
2
=(a-3)x
1
+4a-a
2
,由此可得结论.
解:(1)y
2
=4x(3分)
(i)A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) |AB|=
(4分)
(ii)设存在直线m:x=a,满足题意,则圆心M
,过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得|EG|
2
=|MG|
2
-|ME|
2
=(a-3)x
1
+4a-a
2
当a=3时,弦长恒为定值2
因此存在直线m:x=3满足题意(6分)
举一反三
若AB为抛物线y
2
="2px" (p>0)的动弦,且|AB|="a" (a>2p),则AB的中点M到y轴的最近距离是
.
题型:不详
难度:
|
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(本题分12分)
如图,斜率为1的直线过抛物线
的焦点,与抛物线交于两点A、B, 将直线
按向量
平移得到直线
,
为
上的动点,
为抛物线弧
上的动点.
(Ⅰ) 若
,求抛物线方程.
(Ⅱ)求
的最大值.
(Ⅲ)求
的最小值.
题型:不详
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|
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(本小题满分14分)
已知直线
上有一个动点
,过点
作直线
垂直于
轴,动点
在
上,且满足
(
为坐标原点),记点
的轨迹为
.
(1)求曲线
的方程;
(2)若直线
是曲线
的一条切线, 当点
到直线
的距离最短时,求直线
的方程.
题型:不详
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(13分)如图,抛物线顶点在原点,圆
的圆心是抛物线的焦点,直线
过抛物线的焦点,且斜率为2,直线
交抛物线与圆依次为
、
、
、
四点.
(1)求抛物线的方程.
(2)求
的值.
题型:不详
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设F为抛物线
的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线
轴的交点为Q,则
。
题型:不详
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