(13分)已知,A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆(x-1)2+y2=1的两条切线分别切圆于EF两点,交抛物线于M.N两点,交y轴于B.C两点(1)当A点

(13分)已知,A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆(x-1)2+y2=1的两条切线分别切圆于EF两点,交抛物线于M.N两点,交y轴于B.C两点(1)当A点

题型:不详难度:来源:
(13分)已知,A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆(x-1)2+y2=1的两条切线分别切圆于EF两点,交抛物线于M.N两点,交y轴于B.C两点
(1)当A点坐标为(8,4)时,求直线EF的方程;
(2)当A点坐标为(2,2)时,求直线MN的方程;
(3)当A点的横坐标大于2时,求△ABC面积的最小值。
答案

(1)7x+4y-8=0
(2)3x+2y-2=0
(3)8
解析

(1)∵DEFA四点共圆
EF是圆(x-1)2+y2=1及(x-1)(x-8)+y(y-4)=0的公共弦
∴EF的方程为7x+4y-8=0………………………………………………4分
(2)设AM的方程为y-2=k(x-2)
即kx-y+2-2k=0与圆(x-1)2+y2=1相切得
=1
∴k=
把y-2=(x-2)代入y2=2x得M(),而N(2,-2)
∴MN的方程为3x+2y-2=0………………………………………………8分
(3)设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),不妨设b>c,
直线PB的方程为y-b=
即(y0-b)x-x0y+x0b=0
又圆心(1,0)到PB的距离为1,所以=1,故
(y0-b)2+x=(y0-b)2+2x0b(y0-b)+ xb2
又x0>2,上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0
同理有(x0-2)c2+2y0c-x0=0
故b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个实数根
所以b+c=,bc=,则(b-c)2=
因为P(x0,y0)是抛物线上的点,所以有y=2x0,则
(b-c)2=,b-c=
∴S△PBC=(b-c)x0==x0-2++4≥2+4=8
当(x0-2)2=4时,上式取等号,此时x0=4,y=±2
因此S△PBC的最小值为8…………………………………………………………13分
举一反三
(本题满分14分)
如图,已知是棱长为的正方体,点上,点上,且
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点上,,点上,,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线的焦点为F,若M是抛物线上的动点,则的最大值为            .
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抛物线 的准线方程是
A.B.C.D.

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已知抛物线上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为(   )
A.x=8B.x=-8C.x=4D.x=-4

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已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(2,m)到其焦点的距离为 4,则实数m的值是
A.2 B.4 C.8D.16

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